Im Hotel einchecken und um Erlaubnis bitten

could – die höfliche Bitte. Die Form ist Vergangenheit, der Sinn Gegenwart.

could ist die Vergangenheitsform von can, aber in der Bitte geht es nicht um Zeit: Die Vergangenheitsform schafft hier höfliche Distanz, keine Vergangenheit. Im Deutschen macht dasselbe der Konjunktiv II: „Könnten Sie …?“ statt „Können Sie …?“. could steht für beides – „konnte“ und „könnte“. Wie nach can steht danach das Verb ohne to.

Das ist die dritte, letzte Stufe der Leiter, die in der ersten Lektion von A1 begonnen hat:

May I…? – Erlaubnis, noch förmlicher: May I come in?, May I use your phone? Fast nur mit I und we. Mit „mögen“ hat may nichts zu tun: May I…? heißt „Darf ich …?“.

I'd like… – das höfliche „ich hätte gern“, das auf A1 noch durch A coffee, please ersetzt wurde: I'd like a coffee, please, I'd like to book a room. I'd = I would; nach would like folgt ein Nomen oder to + Verb. Nicht verwechseln mit I like – „ich mag“.

Would you mind + -ing-Form – die höflichste Bitte, und sie hat eine umgekehrte Logik:

Wörtlich „Hätten Sie etwas dagegen?“, deshalb drückt man Zustimmung mit einer Verneinung aus – wie im Deutschen: „Nein, gar nicht.“